الجبر الخطي الأمثلة

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{3}$ إلى $ℝ^{3}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

المجموع: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

خطوة 6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

خطوة 7

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

خطوة 8

خاصية الجمع للتحويل تنطبق.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 9

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

خطوة 10

حلّل $p$ إلى عوامل من كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $p$ في كل عنصر في المصفوفة.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

خطوة 10.2

طبّق التحويل على المتجه.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

خطوة 10.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد ترتيب $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

خطوة 10.3.2

أعِد ترتيب $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

خطوة 10.3.3

أعِد ترتيب $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

خطوة 10.4

حلّل كل عنصر من عناصر المصفوفة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

حلّل العنصر $0, 0$ إلى عوامل بضرب $2 a p - 12 b p + 12 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

خطوة 10.4.2

حلّل العنصر $1, 0$ إلى عوامل بضرب $a p + 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

خطوة 10.4.3

حلّل العنصر $2, 0$ إلى عوامل بضرب $2 a p + 2 b p + 4 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

خطوة 11

الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

خطوة 12

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 13

طبّق التحويل على المتجه.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

خطوة 14

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد ترتيب $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

خطوة 14.2

أعِد ترتيب $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 15

التحويل يحافظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 16

نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

التحويل الخطي